Вычислительная математика 
 

  назад | оглавление | вперед

 

Глава 7. Численное интегрирование

1. Постановка задачи

Пусть известны значения функции в точках х0, х1,…,хn: yi = f(xi). Необходимо найти значение . Основная идея численного интегрирования: заменить функцию f(x) на интерполирующую ее функцию y(x) (которую можно проинтегрировать).
. Обычно в качестве интерполирующей функции используется интерполяционный многочлен. Заменяя подынтегральную функцию каким-нибудь интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы вида:

, где Ai – коэффициенты, зависящие только от выбора узлов интерполяции, R – остаточный член или погрешность квадратурной формулы. При отбрасывании R возникает погрешность усечения.

Квадратурные формулы для равноотстоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса. Формулы Ньютона-Котеса различаются степенями использованных интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, обычно разбивают промежуток интегрирования на отдельные участки, применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты. Наиболее простыми из формул такого типа являются формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.


2. Формула трапеций

Соединяя каждые два узла прямой (т.е. применяя линейную интерполяцию) получим, что площадь под кривой приближенно равна сумме площадей трапеций. Пусть .

Тогда

Получаем формулу трапеций

              (1)

Погрешность усечения составляет               (2)

Формула трапеций дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция линейна.

Пример По таблице значений функции найти методом трапеций.

x

0

1

2

3

4

y

0

1

4

9

16


3. Формула Симпсона

Соединяя каждые три узла параболой (т.е. применяя квадратичную интерполяцию) получим, что площадь под кривой приближенно равна сумме площадей криволинейных трапеций под параболами. Очевидно, что в этом случае число узлов должно быть нечетным. (т.е. n – четное). Пусть .

Получаем формулу Симпсона

,               (3)

где .

Погрешность усечения составляет               (4)

Формула Симпсона дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция является многочленом до третьей степени включительно.

Погрешность округления общей формулы трапеции и общей формулы Симпсона одинакова и составляет , где e - погрешность вычисления yi.

Пример В условиях предыдущего примера вычислить интеграл по методу Симпсона.


4. Метод двойного пересчета

При практических вычислениях часто бывает затруднительно оценить погрешность усечения формулы трапеции или формулы Симпсона из-за того, что неизвестна (для формулы трапеций) или (для формулы Симпсона). В этом случае используется метод двойного пересчета.

Вычислить интеграл по формуле трапеции с шагом hIh, и вычислить интеграл с шагом h/2 – Ih/2. Если , где Δ – заданная точность, то вычисления заканчивают и считают, что значение интеграла равно Ih/2. В противном случае вычисляют интеграл с шагом h/4 и т.д.



назад | оглавление | вперёд