Вычислительная математика 
 

  назад | оглавление | вперед

 

Глава 2.Приближенные числа и правила работы с ними

2.1. Абсолютная и относительная погрешности

Пусть x - приближенное представление числа x0. Тогда величина называется абсолютной погрешностью представления числа x0 с помощью числа x. Как правило, эта величина представляет лишь теоретический интерес, поскольку точное значение x0 обычно неизвестно. На практике используют максимально возможное значение Δ – число Δ x, удовлетворяющее неравенству

 (1)

называется максимальной, или предельной, абсолютной погрешностью (ошибкой). Очевидно, что всякое число, большее предельной абсолютной погрешности данного приближенного числа, так же может быть названо предельной абсолютной погрешностью этого числа. На практике в качестве Δ x выбирают, по возможности, как можно меньшее число, удовлетворяющее неравенству (1). В дальнейшем значение Δ x принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа x. В этом случае истинное значение x0 находится в интервале: [xΔ x, x + Δ x]. Часто используют запись или . При этом, должно выполняться условие, что Δ x << | x | (знак << означает “значительно меньше”).

Пример 1: Определить предельную абсолютную погрешность, числа
x = 3.14, заменяющего число p .

Так как имеет место неравенство 3.14 < p < 3.15, то |xp | < 0.01 и, следовательно, можно принять, что Δ x = 0.01. Если учесть, что 3.14 < p < 3.142, то будем иметь лучшую оценку: Δ x = 0.002.

Абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности вычисления или измерения. Например, если при измерении двух длин получили результаты: l1 = 100.4 ± 0.1 и l2 = 6.2 ± 0.1, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго. Таким образом, существенно значение абсолютной погрешности, приходящееся на единицу измерения.

Величина, равная , называется относительной погрешностью представления числа x0 числом x. Так же как и в случае с абсолютной погрешностью, введем понятие максимальной, или предельной, относительной погрешности (ошибки) d x:

d d x (2)

Заметим, что относительная погрешность часто изменяется в процентах.

Из (2) следует, что. Следовательно, , и за предельную абсолютную погрешность можно принять:. Так как на практике x0 » x, то можно пользоваться формулой:

  (3)

или  (4)

Очевидно, << 1, т.к. Δ x << x » x0.

Пример 2: Вес 1 дм3 воды при 0° С p = 999.847 Г ± 0.001 Г. Определить предельную относительную погрешность результата взвешивания.

Очевидно, Δ p = 0.001 Г и p » 999.847 Г. Следовательно, .

Пример 3: Определить, какое равенство точнее.

Находим значения выражений с большим числом десятичных знаков, чем имеющиеся приближения.. Вычислим предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

. Тогда, предельные относительные погрешности составляют:

. Так как , то равенство является более точным.


2.2. Правило записи приближенного числа


Всякое положительное десятичное число x может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби вида, где a i – цифры числа x, причем m – старший десятичный разряд числа x, a m ¹ 0. Например,. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном представлении, начиная с первой слева ненулевой цифры. Например, в числе 0.0024 значащими цифрами являются 2 и 4. В числе 670.560 все шесть цифр – значащие. При изменении формы записи числа с фиксированной точкой на форму с плавающей точкой число значащих цифр не должно меняться, т.е. нужно соблюдать равносильность преобразований. Например, числа 4800 и 0.4800× 102 равны, а числа 4800 и 0.48× 102 - не равноценны, т.к. содержат соответственно четыре и две значащие цифры.

Говорят, что приближенное значение x, записанное в виде десятичной дроби, имеет n верных десятичных знаков в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы n-го разряда в записи числа x. Таким образом, если x - приближенное значение x0 и известно, что, то по определению, первые n цифр a m, a m-1, ¼ , a m-n+1 этого числа являются правильными. Например, для числа x0 = 10.00234 число x = 9.99999 является приближенным с тремя верными знаками, т.к.
Δ x = | x x0 | = | 9.99999 – 10.00234 | = |0.00235| <. Если приближенное число записывается без указания его абсолютной погрешности, то выписываются только его верные знаки. В случае, если у приближенного числа количество значащих цифр в целой части больше, чем имеется верных знаков, то прибегают к форме записи с плавающей точкой. Например, из записи
x = 0.674× 105, ясно, что у числа x имеется три верные значащие цифры. При этом запись вида x = 67400 не допустима.

Термин “n верных знаков” не следует понимать буквально, т.е. так, что в приближенном числе n первых цифр совпадают с соответствующими цифрами точного значения. Это видно по предыдущему примеру, однако, во многих случаях верные знаки приближенного числа совпадают с соответствующими цифрами точного значения.

В некоторых случаях удобно говорить, что число x является приближением точного числа x0 с n верными десятичными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность Δ x не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой приближенного числа. Например, для числа x0 = 534.4256 число x = 534.425 является приближенным с шестью верными знаками в широком смысле, так как
Δ x = 0.0006 < 1 × 10-3. В дальнейшем под верными знаками приближенного числа будем понимать верные знаки в узком смысле, если не явно не оговорено противное.

Часто употребляют запись вида: x0 = x ± Δ x, при этом величина Δ x выписывается с одной или двумя значащими цифрами, а младший разряд у x должен соответствовать младшему разряду у Δ x. Например, x0 = 3.670 ± 0.032. Записи x0 = 3.67025 ± 0.032 или x0 = 3.67025 ± 0.03224 неестественны.

Очевидно, абсолютная погрешность приближенного числа вполне характеризуется числом верных знаков после запятой, а относительная погрешность – числом верных значащих цифр.


2.3. Округление чисел


При вычислениях часто возникает надобность заменить число x на приближенное x* с меньшим числом разрядов, т.е. округлить число. При этом, число x* выбирают таким образом, чтобы погрешность округления | x*x |, была минимальной.

При округлении используют следующее правило округления. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае, в младший сохраняемый разряд добавляется единица. Это простое правило округления применяется и в ЭВМ. Очевидно, что абсолютная погрешность округления не превосходит половины единицы младшего оставляемого разряда. Например, округляя число 1.5600 до двух значащих цифр, получим приближенное значение 1.6 с абсолютной погрешностью, равной .

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. При выполнении приближенных вычислений руководствуются следующим правилом: число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более, чем на одну ил две единицы. Окончательный результат может содержать не более, чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными. Если при этом абсолютная погрешность результата не превышает двух единиц последнего сохраненного десятичного разряда, то излишняя цифра называется сомнительной.

Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений.

Пример: Округлите сомнительные цифры числа, оставив верные знаки в узком смысле. Определите абсолютную погрешность результата.

Δ x =0.026<0,05. Следовательно, в числе 72.353 верными являются цифры 7, 2, 3. По правилу округления найдем приближенное значение. Сохранив десятые доли:

x1 = 72.4, , следовательно, нужно уменьшить число значащих цифр в приближенном числе до двух:

x2 = 72, . Обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

При округлении приближенного числа его абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления. Например, при округлении числа 2.738 до двух знаков после запятой в записи x = 2.738 ± 0.017, получим, что абсолютная погрешность 0.017 увеличивается до величины
0.017 + |2.74 – 2.738| = 0.019 < 0.02, представляемой так же с двумя знаками после запятой. Округленное значение будет иметь следующий вид:
x = 2.74 ± 0.02.

Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.


2.4. Погрешности арифметических операций


Теорема 1: Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Доказательство.

Пусть x = х0 ± Δ х, у = у0 ± Δ у

.

Тогда, .

 

Правило сложения приближенных чисел.

 1. Выделяем числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставляем их без изменения.

 2. Остальные числа округляем по образцу выделенных, сохранив один запасной десятичный знак.

 3. Производим сложение чисел, учитывая все сохраненные знаки.

 4. Полученный результат округляем на один знак.

Пример 1: Найти сумму приближенных чисел 0.348, 11.75, 0.0849, каждое из которых имеет все верные значащие цифры в широком смысле.

Число наименьшей точности – 11.75. Округляя остальные числа до 0.001 и складывая их, получим

Округляя результат до 0.01, получим приближенное значение суммы 12.18. Абсолютная погрешность суммы равна . Таким образом, искомая сумма есть 12.18 ± 0.01

То же самое можно вывести для разности приближенных чисел.

Теорема 2: Абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Докажите самостоятельно.

Пусть x = х0 ± Δ х, у = у0 ± Δ у, z = xy . Тогда .

Относительная погрешность разности . Если приближенные числа x и y близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число z0 мало, и может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т.е. происходит потеря точности.

Пример 2: Найдем относительную погрешность разности чисел x = 47.132,

y = 47.111.

z = xy = 47.132 – 47.111 = 0.021, Δ x = 0.0005, Δ y = 0.0005,

Δ z = Δ x +Δ y = 0.0005 + 0.0005 = 0.001. Предельные абсолютные погрешности:

.

.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность разности примерно в 5000 раз больше предельных погрешностей исходных данных! Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, вычисление которых приводит к вычитанию близких чисел.

Пример 3: Найдем разность с тремя верными знаками.

Теорема 3: Относительная погрешность произведения двух приближенных чисел, отличных от нуля, не превосходит суммы относительных погрешностей этих чисел.

Доказательство:

Пусть x = х0 ± Δ х, у = у0 ± Δ у, z = x × y. Тогда. ,

В силу того, что , то последним слагаемым можно пренебречь, тогда .

Пример 3: Найти произведение приближенных чисел x = 12.2 и y = 73.56 и число верных знаков в нем, если все цифры сомножителей верные.

Δ x = 0.05, Δ y = 0.005, z = x × y

, z = 12.2 × 73.56 = 897.432,

Δ z = z × d z = 897.432 × 0.004 » 3.6 » 4. Отсюда следует, что z имеет лишь две верных цифры и результат умножения следует записать так: z = 897 ± 4.

Правило умножения приближенных чисел.

 1.Округлить сомножители так, чтобы каждый из них содержал на одну значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей.

 2.Производим умножение округленных чисел, сохранив в произведении столько значащих цифр, сколько верных цифр имелось в наименее точном из сомножителей.


Пример 4: Найти произведение приближенных чисел x = 2.5 и y = 72.397, если все цифры сомножителей верные.

Применяя правило умножения приближенных чисел, после округления имеем

x » 2.5 и y » 72.4. Отсюда, z = x × y = 2.5 × 72.4 = 181 » 1.8 × 102.

Теорема 4: Относительная погрешность частного двух приближенных чисел, отличных от нуля, не превосходит суммы относительных погрешностей этих чисел.

Эту теорему докажите самостоятельно.

Пример 5: Найти частное приближенных чисел x = 25.7 и y = 3.6 и число верных знаков в нем, если все цифры делимого и делителя верные.

.

Δ z = z × d z = 7.1389 × 0.016 » 0.2. Отсюда следует, что z имеет лишь одну верную цифру и результат деления следует записать так: z = 7.0 ± 0.2

 

2.5.Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов

Рассмотрим для определенности дифференцируемую функцию одной переменной y = f(x). Пусть необходимо вычислить значение и пусть число x является приближенным значениям x0. Тогда . Из курса математического анализа известно, что при небольшом Δ x имеет место следующая приближенная формула . Тогда, .

В случае, если имеется функция двух переменных z = f(x, y), эта формула приобретает вид: .

Аналогично, можно выписать формулу для любого количества аргументов.


2.5.1.Относительная погрешность степени

Теорема: Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности самого числа.

Доказательство

2.5.2. Относительная погрешность экспоненциальной функции


Теорема: Относительная погрешность при вычислении экспоненты равна абсолютной погрешности аргумента.

Доказательство

2.5.3.Относительная погрешность логарифма


Теорема: Абсолютная погрешность логарифма равна относительной погрешности аргумента.

Доказательство

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешности результата вычислений:

, если n = 3.0567± 0.0001, m = 5.72 ± 0.02.

Пусть

Имеем, n – 1 = (3.0567 ± 0.0001) – 1 = 2.0567 ± 0.0001 ,

m + n = (3.057 ± 0.0004) + (5.72 ± 0.02) = 8.777 ± 0.0204,

mn = (3.057 ± 0.0004) – (5.72 ± 0.02) = 2.663 ± 0.0204.

= 2.545 » 2.55.

= 0.000049 + 0.00233 + 2 × 0.00766 = 0.00238 + 0.01532 = 0.0177 =1.77%

Δ x = |x0| × d x = 2.55 × 0.0177 = 0.046. Итак, x = 2.55 ± 0.046, d x = 1.77%.



назад | оглавление | вперёд