Лабораторная работа №1
Лабораторная работа №2
Лабораторная работа №3
Лабораторная работа №4
Лабораторная работа №5
Лабораторная работа №1. Интерполяция.
Известно, что функция удовлетворяет
условию при любом x. Рассчитать шаг таблицы значений
функции f(x), по которой с помощью линейной интерполяции можно было бы найти промежуточные
значения функции с точностью 0.0001, если табличные значения функции округлены до 4-х знаков после запятой.
Составить программу, которая
1.Выводит таблицу значений функции с рассчитанным шагом h на интервале [c, c+30h].
2. С помощью линейной интерполяции вычисляет значения функции в точках по таблице значений функции с шагом h.
3. Выводит значения xi, приближенные и точные значения функции в точках xi (i = 0,1,¼29).
Для построения таблицы взять функцию N – последняя цифра пароля, i mod 4 – остаток от деления i на 4 (Например, 10 mod 4 = 2, 15 mod 4 = 3, 8 mod 4 = 0).
Пример расчета шага таблицы: Пусть . Полная погрешность интерполяции R = Rусеч + Rокруг, где Rусеч – погрешность формулы линейной интерполяции, Rокруг – погрешность, возникающая из-за подстановки в формулу линейной интерполяции приближенных значений функции
Известно, что погрешность формулы линейной интерполяции оценивается по следующему неравенству:
Rусеч ≤
, где . По условию задачи , следовательно, Rусеч ≤
. По условию табличные значения функции округлены до 4-х знаков. Следовательно, абсолютная погрешность округления табличных значений Δ
(f) = 0.5×
10-5. Тогда, при подстановке этих приближенных значений в формулу линейной интерполяции возникает погрешность:
Rокруг = (1 – q)×
Δ
(f) + q×
Δ
(f) = Δ
(f) = 0.5×
10-5. По условию, общая погрешность R ≤
0.0001. Получаем,




Лабораторная работа №2.Решение систем линейных уравнений.
Привести систему к виду, подходящему для метода простой итерации. Рассчитать аналитически количество итераций для решения системы линейных уравнений методом простой итерации с точностью до 0.0001 для каждой переменной.
Написать программу решения системы линейных уравнений методом простой итерации с точностью до 0.0001 для каждой переменной. Точность достигнута, если (k – номер итерации, k = 0,1,¼
). Вывести количество итераций, понадобившееся для достижения заданной точности, и приближенное решение системы. Система уравнений
N – последняя цифра пароля.
Пример расчета количества шагов для метода простой итерации для достижения точности 0.01 по каждой переменной.
Пусть имеется система:

Приведем ее к виду, удобному для метода простой итерации:
, тогда 

В качестве начального приближения возьмем . Для метода простой итерации погрешность оценивается по формуле . По условию точность должна быть меньше, чем 0.01. Получаем, .







Выполнение 28 шагов по методу простой итерации гарантирует вычисление значения каждого неизвестного с точностью 0.01. При работе программы обычно получается меньшее количество шагов.
Лабораторная работа №3.Решение нелинейных уравнений
Найти аналитически интервалы изоляции действительных корней уравнения. Написать программу нахождения всех действительных корней нелинейного уравнения методом деления пополам с точностью 0,0001. Считается, что требуемая точность достигнута, если выполняется условие , (e
– заданная точность), при этом Корни отделить аналитически, для чего найти производную левой части уравнения и составить таблицу знаков левой части на всей числовой оси. Вариант выбирается по последней цифре пароля.
Вариант 0: 
Вариант 1: 
Вариант 2: 
Вариант 3: 
Вариант 4: 
Вариант 5: 
Вариант 6: 
Вариант 7: 
Вариант 8: 
Вариант 9: 
Пример нахождения интервалов изоляции действительных корней уравнения:
Найдем интервалы изоляции действительных корней уравнения . Для этого найдем производную функции и критические точки из условия .
, .
Составим таблицу знаков функции f(x):
x |
–¥
|
-2/3 |
2 |
+¥
|
f(x) |
– |
+ |
– |
+ |
Следовательно уравнение имеет три действительных корня:
x1> Î ]–¥
; –2/3[, x2 Î
]–2/3; 2[, x3 Î
]2; +¥
[. Уменьшим промежутки, содержащие корни:
x |
–2 |
-2/3 |
2 |
3 |
f(x) |
– |
+ |
– |
+ |
Итак, уравнение имеет три вещественных корня:
x1 Î ]–2; –2/3[, x2 Î
]–2/3; 2[, x3 Î
]2; 3[
Лабораторная работа №4. Численное дифференцирование
Известно, что функция удовлетворяет условию при любом x. Измерительный прибор позволяет находить значения с точностью 0.0001. Найти наименьшую погрешность, с которой можно найти по приближенной формуле: . Рассчитать шаг для построения таблицы значений функции, которая позволит вычислить значения с наименьшей погрешностью.
Составить программу, которая
1. Выводит таблицу значений функции с рассчитанным шагом h на интервале
[c – h, c + 21h].
2. По составленной таблице вычисляет значения в точках .
3. Выводит значения xi (i = 0,1,¼
20)., приближенные и точные значения
в точках xi.
Для построения таблицы взять функцию , где
N – последняя цифра пароля. Тогда, точное значение производной 
Пример расчета шага таблицы:
Пусть .
Из формулы для расчета оптимального шага следует, что , где . В нашем случае .
При выбранном шаге h = 0.023 погрешность дифференцирования
R =
Лабораторная работа №5. Одномерная оптимизация
Написать программу для нахождения максимального значения функции на отрезке [0, 0.5] методом золотого сечения с точностью 0.0001. Считается, что требуемая точность достигнута, если выполняется условие , (e
– заданная точность, ak, bk – границы интервала неопределенности, k = 0,1,2,¼
), при этом, , 
N – последняя цифра пароля.
|