Вычислительная математика
|
назад | оглавление | вперед |
Глава 8. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка
Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, содержащие производную первого порядка. Если задано начальное условие, то имеем задачу Коши, которая в общем случае имеет вид:
              (1)
Требуется найти функцию f(x), удовлетворяющую (1). Численное решение такой задачи получают, изменяя x0 на малую величину h и переходя к новой точке x1 = x0 + h. При этом значение функции в точке x1 определяется по наклону кривой в точке x0, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Затем, изменяя x1 на малую величину h и переходя к новой точке
x2 = x1 + h аналогичным образом находят f(x1) и т.д. до тех пор, пока не дойдем до нужной точки. Таким образом, график численного решения задачи Коши – это последовательность отрезков прямых, которыми аппроксимируется кривая .
В методе Эйлера заменяют точное значение f(x0+h) на значение касательной, проведенной к графику у = f(х) в точке (х0,у0).
Формула Эйлера имеет вид:               (2)
или               (3)
При методе Эйлера одном шаге возникает погрешность C1× h2, которая накапливается в процессе решения и к концу решения составляет C1× h2.
Пример Найти y(1.3), выполнив 3 шага метода Эйлера для задачи Коши:
,
Лучшие модификации метода Эйлера - методы Рунге-Кутта. Рассмотрим метод Рунге-Кутта с коррекцией в средней точке:
              (4)
Погрешность этого метода равна C3 × h2 .
Другой метод Рунге-Кутта – метод с коррекцией по средней производной.
              (5)
Погрешность этого метода равна C4 × h2 .
Чаще всего на практике используют метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
              (6)
Погрешность этого метода равна C5 × h4 .
Явные оценки для погрешности решения весьма затруднительны, т.к. константы, участвующие в оценке погрешности весьма трудно оценить. Поэтому используют двойной пересчет: находят решение дифференциального уравнения на [a,b] дважды с шагом h и с шагом h/2. Затем сравнивают полученные двумя способами значения функции во всех точках xi, в которых были вычислены оба значения. Считается, что необходимая точность достигнута, если разность этих значений не превосходит ε для методов первого порядка точности, 3ε для методов второго порядка, 15ε для методов четвертого порядка.