Вычислительная математика 
 

  назад | оглавление | вперед

 

Глава 8. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка

1. Постановка задачи

Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, содержащие производную первого порядка. Если задано начальное условие, то имеем задачу Коши, которая в общем случае имеет вид:

              (1)

Требуется найти функцию f(x), удовлетворяющую (1). Численное решение такой задачи получают, изменяя x0 на малую величину h и переходя к новой точке x1 = x0 + h. При этом значение функции в точке x1 определяется по наклону кривой в точке x0, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Затем, изменяя x1 на малую величину h и переходя к новой точке
x2 = x1 + h аналогичным образом находят f(x1) и т.д. до тех пор, пока не дойдем до нужной точки. Таким образом, график численного решения задачи Коши – это последовательность отрезков прямых, которыми аппроксимируется кривая .


2. Метод Эйлера

В методе Эйлера заменяют точное значение f(x0+h) на значение касательной, проведенной к графику у = f(х) в точке (х00).

Формула Эйлера имеет вид:               (2)

или               (3)

При методе Эйлера одном шаге возникает погрешность C1× h2, которая накапливается в процессе решения и к концу решения составляет C1× h2.

Пример Найти y(1.3), выполнив 3 шага метода Эйлера для задачи Коши:

,


3. Методы Рунге-Кутта

Лучшие модификации метода Эйлера - методы Рунге-Кутта. Рассмотрим метод Рунге-Кутта с коррекцией в средней точке:

              (4)

Погрешность этого метода равна C3 × h2 .

Другой метод Рунге-Кутта – метод с коррекцией по средней производной.

              (5)

Погрешность этого метода равна C4 × h2 .

Чаще всего на практике используют метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

              (6)

Погрешность этого метода равна C5 × h4 .


4. Метод двойного пересчета

Явные оценки для погрешности решения весьма затруднительны, т.к. константы, участвующие в оценке погрешности весьма трудно оценить. Поэтому используют двойной пересчет: находят решение дифференциального уравнения на [a,b] дважды с шагом h и с шагом h/2. Затем сравнивают полученные двумя способами значения функции во всех точках xi, в которых были вычислены оба значения. Считается, что необходимая точность достигнута, если разность этих значений не превосходит ε для методов первого порядка точности, для методов второго порядка, 15ε для методов четвертого порядка.



назад | оглавление | вперёд