Вычислительная математика
|
назад | оглавление | вперед |
Глава 7. Численное интегрирование
Пусть известны значения функции в точках х0, х1,…,хn: yi = f(xi). Необходимо найти значение
. Основная идея численного интегрирования: заменить функцию f(x) на интерполирующую ее функцию y(x) (которую можно проинтегрировать).
. Обычно в качестве интерполирующей функции используется интерполяционный многочлен. Заменяя подынтегральную функцию каким-нибудь интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы вида:
, где Ai – коэффициенты, зависящие только от выбора узлов интерполяции, R – остаточный член или погрешность квадратурной формулы. При отбрасывании R возникает погрешность усечения.
Квадратурные формулы для равноотстоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса. Формулы Ньютона-Котеса различаются степенями использованных интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, обычно разбивают промежуток интегрирования на отдельные участки, применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты. Наиболее простыми из формул такого типа являются формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Соединяя каждые два узла прямой (т.е. применяя линейную интерполяцию) получим, что площадь под кривой приближенно равна сумме площадей трапеций. Пусть .
Тогда
Получаем формулу трапеций
              (1)
Погрешность усечения составляет               (2)
Формула трапеций дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция линейна.
Пример По таблице значений функции найти методом трапеций.
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
Соединяя каждые три узла параболой (т.е. применяя квадратичную интерполяцию) получим, что площадь под кривой приближенно равна сумме площадей криволинейных трапеций под параболами. Очевидно, что в этом случае число узлов должно быть нечетным. (т.е. n – четное). Пусть .
Получаем формулу Симпсона
,               (3)
где .
Погрешность усечения составляет               (4)
Формула Симпсона дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция является многочленом до третьей степени включительно.
Погрешность округления общей формулы трапеции и общей формулы Симпсона одинакова и составляет , где e
- погрешность вычисления yi.
Пример В условиях предыдущего примера вычислить интеграл по методу Симпсона.
При практических вычислениях часто бывает затруднительно оценить погрешность усечения формулы трапеции или формулы Симпсона из-за того, что неизвестна (для формулы трапеций) или
(для формулы Симпсона). В этом случае используется метод двойного пересчета.
Вычислить интеграл по формуле трапеции с шагом h – Ih, и вычислить интеграл с шагом h/2 – Ih/2. Если , где Δ
– заданная точность, то вычисления заканчивают и считают, что значение интеграла равно Ih/2. В противном случае вычисляют интеграл с шагом h/4 и т.д.