Вычислительная математика 
 

  назад | оглавление | вперед

 

Глава 6. Численное дифференцирование

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена

Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах . Значения функции и значения производных в узлах будем обозначать

Пусть известны значения функции в двух точках и :

Воспользуемся линейной интерполяцией: . Тогда, .

В частности, при x = x1 получаем               (1)

Формула (1) называется левой разностной производной.

Если найти производную, используя линейную интерполяцию в точках x1 и x2, то получим правую разностную производную:

.               (2)

Пусть задана в трех точках Используя квадратичную интерполяцию , получаем

.

В частности, при x = x0 получаем               (3)

Формула (3) называется центральной разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную, используя квадратичную интерполяцию, то получим формулу:

.

В частности, при x = x0 получаем .               (4)

Формула (4) носит название второй разностной производной.

Формулы (1)-(4) называются формулами численного дифференцирования.

При численном дифференцировании, как и при интерполяции, возникает два типа погрешностей:

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, можно получить погрешности усечения приближенных формул (1)–(4).

Для формулы (1) .               (5)

Для формулы (3) .               (6)

Для формулы (4) .               (7)

Погрешности округления формул (1), (3), (4), соответственно равны .

Погрешность усечения при уменьшении h уменьшается, а погрешность округления, напротив, увеличивается.

Поэтому шаг не следует брать слишком большой, чтобы погрешность усечения не была велика, и не следует брать слишком маленьким, чтобы не была велика погрешность округления.

Оптимальный шаг для формулы (1):.               (8)

Оптимальный шаг для формулы (3):.              (9)

Оптимальный шаг для формулы (4):.               (10)

Пример Задана таблица значений функции f(x).

x

0.4

0.6

0.8

y

0.400

1.485

2.680

Найдите оценку первой производной в точке 0.5. Оцените погрешность, если известно, что при .

По формуле (3) при h = 0.1 получаем

Погрешность усечения оценим по формуле (6):

Используя интерполяционные многочлены более высоких порядков можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.


назад | оглавление | вперёд