Методические указания к лабораторным работам

Оценка инструментальных погрешностей при экспериментальных исследованиях | назад | оглавление | вперёд |

Изложена методика оценки инструментальных погрешностей при прямых и косвенных измерениях с однократными и многократными наблюдениями. Приведены правила представления результатов измерения. Рассмотрены примеры обработки результатов наблюдения и оформления результатов измерения. Методические указания предназначены для студентов очной формы обучения для изучения курса МС и УК, основы метрологии, обработка экспериментальных данных на ЭВМ, основы метрологии стандартизации и измерений. Они могут быть полезны для студентов очной и заочной форм обучения при выполнении лабораторного практикума по другим дисциплинам и при дипломном проектировании.

- Характеристики погрешности и формы преставления результатов измерения

- Оценка погрешности прямых измерений с однократными наблюдениями

2.1 Способы нормирования погрешностей средств измерения

2.2Оценка инструментальных погрешностей по классу точности средств измерений

2.2.1 Нормирование пределов допускаемой погрешности в форме приведенной погрешности

2.2.2 Нормирование пределов допускаемой погрешности в форме относительной погрешности

2.2.3Нормирование пределов допускаемой погрешности в форме абсолютной погрешности

- Оценка случайной составляющей погрешности прямых измерений с многократными наблюдениями

- Оценка неисключенной систематической погрешности результата измерения

- Интервальная оценка погрешности результата измерения

- Оценка погрешности косвенных измерений

Литература

- Характеристики погрешности и формы преставления результатов измерения

Согласно методическим указаниям МИ 1317-86 [2] результат измерения должен быть представлен числом с указанием единиц измерения. Совместно с результатом измерений должны быть представлены характеристики измерений и условия, для которых они действительны. Допускается представление результата измерений доверительным интервалом, покрывающим с известной (указываемой) доверительной вероятностью, истинное значение измеряемой величины. В этом случае статистические оценки характеристик погрешности не указываются.

Погрешность результата измерения может быть представлена следующими способами: 1)указывается среднее квадратическое отклонение (СКО) погрешности измерения; 2)указывается нижняя Δi и верхняя Δh границы интервала, в пределах которого погрешность измерения находится с заданной вероятностью P; 3)указываются характеристики случайной и неисключенной систематической составляющих погрешностей измерений.

В последнем случае, для случайной составляющей погрешности измерения указывается СКО и, при необходимости, нормализованная корреляционная функция. В качестве характеристики систематической составляющей погрешности используется или СКО неисключенной систематической погрешности измерения или границы, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения находится с заданной вероятностью.

Характеристики погрешности измерений указываются в единицах измеряемой величины (абсолютные), в процентах (относительные) относительно результатов измерений или действительных значений измеряемой величины.

Характеристики погрешности и их статистические оценки выражаются числом не более двух значащих цифр, путем округления в большую сторону. Допускается характеристики погрешности и их статистические оценки выражать числом, содержащим одну значащую цифру. В этом случае для статистических оценок характеристик число получается округлением в большую сторону, если цифра последующего неуказываемого младшего разряда равна или больше пяти, или в меньшую сторону, если эта цифра меньше пяти (СТ СЭВ 543-77) [5].

Числовые значения результата измерений и погрешности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов.

Примечание. Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих с левой стороны числа.

Примеры. 1.1) Обработка результатов группы из одинаковых наблюдений напряжения образцовой меры в течение двенадцати минут при температуре 22ºС дала следующие результаты: результат измерения (среднее значение) ЭДС составил 1.018646 В; СКО результата измерения 0.000196 В.

Форма представления результата измерения:

U = 1.018646 В; S(Ã) = 20*10ˆ-5 В. Условия измерения: время измерения 12 минут; температура среды 295º К; n = 11.

1.2). Показания вольтметра в нормальных условиях измерения равно 10.7538. Погрешность измерения с вероятностью 0.95 не превышает по модулю 0.15 В.

Форма представления результата измерения напряжения:

U = 10.75 ± 0.15 В; Р =0.95; условия измерения нормальные; или U = 10.75 В; |Δl| =|Δh| = 0.15 В; Р =0.95; условия измерения нормальные; или значение измеряемого напряжения находится в интервале от 10.60 до 10.90 В с доверительной вероятностью 0.95; условия измерения нормальные.

1.3). При нормальных условиях частотомер показал 6033747 Гц, СКО случайной составляющей погрешности результата измерения равно 8.53 Гц и неисключенная систематическая погрешность измерения находится в пределах ± 6*10ˆ-7 îт измеренного значения с вероятностью 0.95.

Форма представления результата измерения: f = 6083747.0 Гц; σ[Δ]=8.5 Γц; |δ sl|=|δ sh|= 6*10ˆ-5 %; Р=0.95; условия измерения нормальные.

- Оценка погрешности прямых измерений с однократными наблюдениями

Измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных (например, определение напряжения вольтметром, тока – амперметром и т.д.), называют прямыми. Погрешность результата прямых измерений обусловлена погрешностью применяемого средства измерения (СИ), которую принято называть инструментальной погрешностью. Оценку инструментальной погрешности осуществляют по метрологическим характеристикам (МХ) применяемых СИ.

2.1 Способы нормирования погрешностей средств измерения

Одной из важнейших МХ СИ, характеризующей его погрешность, является класс точности. Под классом точности, в соответствии с ГОСТ 16263-70, понимают обобщенную характеристику средства измерений, определяемую пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений. Предел допускаемой основной (дополнительной) погрешности средства измерений – это наибольшая (без учета знака) основная (дополнительная) погрешности, при которых оно может быть допущено к применению. Согласно ГОСТ 8.401-80 пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей могут быть выражены в виде абсолютных, приведенных или относительных погрешностей или в виде определенного числа делений. Этот ГОСТ устанавливает также связь между условными обозначениями класса точности СИ, способами выражения пределов допускаемых погрешностей и показаниями приборов Ап.

Значение предела допускаемой погрешности Δпред позволяет утверждать, что, во-первых, погрешность результата измерения по модулю этого предела, а во-вторых, истинное значение измеренной величины находится в пределах:

Ап - Δпред < А < Ап + Δпред (2.1)

поэтому результат измерения следует записать в виде:

Ап; Δl = - Δпред; Δh = Δпред; Р; условия измерения (2.2)

Важно отметить также тот факт, что эти утверждения будут справедливыми в том случае, если изменение выполнено исправным и своевременно поверенным прибором.

В том случае. Когда нормируются пределы основной и дополнительной погрешностей, предел допускаемой погрешности СИ находят суммированием этих пределов, то есть:

Δпред = Δ осн + Δ доп (2.3)

По способу выражения погрешностей СИ различают:

А) абсолютную погрешность СИ – разность между показанием Ап и истинным значением А:

Δ = Aп – А (2.4)

Так как истинное значение А неизвестно, то на практике вместо него пользуются действительным значением А0;

Б) относительную погрешность СИ – отношение абсолютной погрешности СИ к истинному значению измеряемой величины:

(на практике в формулу (2.5) вместо А подставляют показания прибора Ап)

В) приведенную погрешность СИ – отношение абсолютной погрешности СИ к нормирующему значению:

Нормирующее значение Анорм - условно принятое значение, могущее быть равным верхнему пределу измерений, диапазону измерений, длине шкалы и др.

Относительную и приведенную погрешности обычно выражают в процентах, для чего правые части формул умножают на 100.

2.2 Оценка инструментальных погрешностей по классу точности средств измерений.

В соответствии с ГОСТ 8.401-80 пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей выражают в форме приведенных, относительных или абсолютных погрешностей. В соответствии с этим применяются различные обозначения классов точности, показанные в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Условные обозначения классов точности

Форма выражения погрешности | Обозначение классов точности | Пример обозначения класса точности на СИ
Приведенная | Класс точности обозначается числом, равным пределу допускаемой приведенной погрешности, выраженному в процентах | 1.5 или 0.5

Относительная

1. Класс точности обозначается числом, равным пределу допускаемой относительной погрешности, выраженному в процентах

2. Класс точности обозначается числами, определяющими предел допускаемой относительной погрешности по формуле 2.16. Числа выражены в процентах

0.25

0.2/6*10ˆ-6

Абсолютная | Классы точности обозначают прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами | N или IV

ГОСТ 8.401-80 рекомендует выражать пределы допускаемых погрешностей не более чем двумя значащими цифрами, причем погрешность округления при вычислении пределов должны быть не более 5%.

2.2.1 Нормирование пределов допускаемой погрешности в форме приведенной погрешности

В этом случае класс точности равен пределу допускаемой основной приведенной погрешности γ, выраженному в процентах:

где γ – может принимать значения из ряда:

(1; 1.5; 2; 2.5; 4; 5; 6;)*10ⁿ; (n = 1, 0, -1, -2, и т.д.) (2.9)

Это число является условным обозначением класса точности, должно быть нанесено на циферблат СИ и указывается в документации.

Если нормирующее значение выражено в единицах измеряемой величины, то предел допускаемой абсолютной погрешности находят по формуле:

В зависимости от положения нулевого значения на шкале СИ Анорм принимают равным:

1. если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы, то нормирующее значение Анорм равно большему из пределов измерений Ак макс:

2. если нулевая отметка находится внутри шкалы СИ, то для электроизмерительных приборов с равномерной или степенной шкалой нормирующее значение равно сумме модулей пределов измерения, то есть:

где Ак1 и Ак2 – пределы измерений;

3. если для средства измерения принята шкала с условным нулем, то нормирующее значение принимают равным модулю разности пределов измерения:

Если у СИ существенно неравномерная шкала, то нормирующее значение равно всей длине шкалы прибора или её части, соответствующей диапазону измерения. В этом случае предел допускаемой абсолютной погрешности, определенный согласно (2.10), будет выражен в единица длины. Для выражения предела Δпред в единицах измеряемой величины нужно предел в единицах длины поделить на чувствительность в точке отсчета показания S:

У таких СИ условное обозначение на циферблате имеет вид “ γ ”, где γ – χисло из ряда 2.9.

Примеры оценки погрешности.

Пример 2.1. Оценить погрешности измерения тока прибором с пределами измерения ±75 мА, классом точности 0.5, если показание прибора равно (-50 мА), а измерение выполнено в нормальных условиях.

Решение. 1) Из условия задачи следует, что приведенная погрешность миллиамперметра в процентах численно равна классу точности γ = 0.5%. 2) Так как нулевая отметка находится внутри шкалы, то нормирующее значение Iнорм согласно выражению (2.12) равно: = |Ik1| +|Ir2| = |-75| + |75| = 150 мА. 3) Предел допускаемой абсолютной погрешности определим по формуле 2.10.

4. Предел допускаемой относительной погрешности найдем по формуле 2.6:

δпред. = (Δпред. / In )*100 = (0.75 / |-50|)*100 =1.5%

5. Результат измерения: I = 50.00 ± 0.75 мА; Р = 0.997; условия измерения нормальные.

Пример 2.2. Вольтметр с пределом измерения 300 В в нормальных условиях показал 120 В. оценить погрешность измерения. Если класс точности обозначен 2.5.

Решение. 1) Приведенная погрешность вольтметра в процентах численно равна классу точности γ =2.5 %. 2) Нулевая отметка находится на краю шкалы, поэтому нормирующее значение Uнорм находим по формуле (2.11). Uнорм = 300 В. 3) Предел допускаемой абсолютной погрешности определим по формуле (2.10):

Δпред = (2.5 /100)*300 =7.5 В. 4) По формуле 2.6 найдем предел допускаемой относительной погрешности:

δпред. = (Δпред. / Un )*100 = (7.5/120)*100 = 6.25 ≈ 6.3%. 5) Результат измерения: U = 120.0 ± 7.5 В или U = 120.0 ± 6%; Р=0.997; условия измерения нормальные.

Пример 2.3. Омметр с длиной шкалы 95 мм и классом точности 2.5 показал 30 Ом. Оценить погрешности измерения, если размер одного деления в точке отсчета показаний 4 мм, а его цена, 5 Ом.

Решение. 1) Из обозначения класса точности определяем предел допускаемой приведенной погрешности γ =2.5 %. 2) Для нахождения предела допускаемой абсолютной погрешности в единицах измеряемой величины, необходимо найти чувствительность омметра в точке отсчета показаний. Её можно найти путем деления размера одного деления в точке отсчета показания на цену этого деления: S=4/5 = 0.8 мм/Ом. 3) Нормирующее значение для таких приборов равно длине его шкалы: Анорм = Lшк = 95мм. 4) Предел допускаемой абсолютной погрешности находим согласно выражению (2.14): Δпред=(2.5/100)*(95/0.8) = 2.575 ≈ 2.6 Ом. 5) Предел допускаемой относительной погрешности согласно (2.6): δпред. = (2.6/30)*100 = =8.66 ≈ 9%. 6) Результат измерения: R =30.0 ± 2.6 Ом или R=30.0±9%; Р = 0.997; условия измерения нормальные.

2.2.2 Нормирование пределов допускаемой относительной погрешности в форме относительной погрешности

Если класс точности обозначен одним числом q, помещенным в кружок (это число должно быть из ряда 2.9), то предел допускаемой относительной погрешности δпред выраженный в процентах, будет равен классу точности:

δпред. = q (2.15)

В случае обозначения класса точности двумя числами c и d, разделенными наклонной линией c/d и взятыми из ряда 2.9, предел допускаемой относительной погрешности, выраженный в процентах, определяют по формуле:

δпред. = c + d (| Aк/An |–1) (2/16)

где Aк - больший по модулю из пределов измерений;

An - показание прибора.

Пример 2.4. на мере емкостей с обозначением класса точности 0.05 установлено значение С =0.2 мкФ. Оценить погрешности измерения, если оно выполнено в нормальных условиях.

Решение. 1). Предел допускаемой относительной погрешности в процентах равен классу точности δпред. = 0.05% . 2). Предел допускаемой абсолютной погрешности можно найти из выражения (2.6): Δпред = δпред. * С/100 = (0.05 * 0.2 * 10ˆ-6 ) / 100 = 10ˆ-10 Ñ = 100 пФ. 3). Результат измерения: С=0.2000±1*10ˆ-4 ìкФ или С=0.2000мкФ±0.05%; Р = 0.997; условия измерения нормальные.

Пример 2.5. Цифровой вольтметр, класс точности которого обозначен 0.5/0.02 показал напряжение Un = 12/50 В. Пределы измерения напряжения от 10 В до 100 В. Оценить погрешность измерения.

Решение. 1) Из условного обозначения класса точности находим значения параметров с и d в выражении (2.16): с = 0.5%, d = 0.02%. 2). Из выражения (2.16) находим предел допускаемой относительной погрешности: δпред = 0.5 + 0.02*(| 100/12.5 |–1) = 0.64%. 3) Предел допускаемой относительной абсолютной погрешности найдем из выражения (2.6): Δпред = δпред. * Un /100 = 0.64 *12.5/100 = 0.08 В. 4).Результат измерения: U = 12.50 ± 0.08 В или U = 12.50 В ± 0.64 %; Р=0.997; условия измерения нормальные.

2.2.3 Нормирование пределов допускаемой погрешности в форме абсолютной погрешности

В этом случае пределы допускаемой абсолютной погрешности Δпред вычисляют по формуле:

Δпред = а (2.17)

или

Δпред = ( а + b * An ) (2.18)

где а,b – положительные числа, задаваемые в технической документации СИ;

An - значение измеряемой величины на входе (выходе) СИ.

- Оценка случайной составляющей погрешности прямых измерений с многократными наблюдениями

Составляющую погрешности измерения, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одного и того же значения физической величины, называют случайной составляющей погрешности, то есть погрешность, размер и знак которой не могут быть точно предсказаны (например, дрейф на выходе усилителя постоянного тока вольтметра, погрешности, вызванные воздействием флуктуационных помех, случайные изменения трения).

Выявление и оценка случайной составляющей погрешности измерений возможны только при многократных измерениях одного итого же значения физической величины при неизменных условиях. Совокупность результатов этих экспериментов далее исследуется методами теории вероятностей, при этом случайные погрешности отдельных наблюдений рассматриваются, как случайные события.

Экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы значений величин, подлежащих совместной обработке для получения результата измерений, называется наблюдением при измерении. Значение величины, получаемое при отдельном наблюдении, называют результатом наблюдения.

Случайный характер рассматриваемых погрешностей приводит к необходимости применения для их оценки вероятностных характеристик. Оценку случайных погрешностей осуществляют путем определения границ интервала, накрывающего с заданной вероятностью случайные погрешности. Границы такого интервала называют доверительными границами, а сам интервал - доверительным интервалом.

Вероятность попадания случайной погрешности в доверительный интервал называется доверительной вероятностью или надежностью измерений в заданных границах.

Если закон распределения случайных погрешностей известен, то доверительная вероятность Р может быть найдена из соотношения:

где ξ1 и ξ2 – соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала погрешностей;

Δ – ρлучайная погрешность;

Р(Δ) –плотность вероятности случайных погрешностей (закон распределения случайных погрешностей).

Как правило, закон распределения случайных погрешностей неизвестен, поэтому приходится лишь высказывать предположение о нем (выдвигать гипотезу). Чаще всего закон распределения случайных погрешностей в измерительной практике оказывается близок к нормальному. Методика обработки результатов наблюдений, случайные погрешности которых распределены по нормальному закону, регламентируются ГОСТ 8.207 –76 и включает следующие операции:

- исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (исправить результаты);
- вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результаты измерения;
- вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения;
- вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;
- проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;
- вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения.

Рассмотрим реализацию указанного алгоритма.

1. Исключение систематических погрешностей осуществляется либо путем введения известных поправок путем сложения их результатом наблюдений, либо путем умножения результатов наблюдения на поправочный множитель, либо иными способами.

Результаты наблюдений после исключения систематических погрешностей называются исправленными. Дальнейшей статистической обработке подвергаются исправленные результаты наблюдений.

2. Если проведен ряд из n наблюдений, исправленные результаты которых принимают значения: а1, а2, …, аi, …, аn, то оценкой математического ожидания будет среднее арифметическое значение результатов наблюдений:

Среднее значение ряда наблюдений ā как наиболее вероятное принимают за результат измерения Ã.

Алгебраическая сумма случайных отклонений результатов наблюдений от среднего значения всегда равна нулю:

Это свойство используется для проверки правильности вычисления среднего значения ā.

3. Оценку среднего квадратического отклонения (СКО) результата наблюдения вычисляют по формуле:

4. Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют:

5. Проверку гипотезу о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению осуществляют:

- при числе наблюдений n > 50 – согласно СТ СЭВ 1190-78, по которому предпочтительным является один из критериев:Пирсона или Мизеса- Смирнова;
- при числе наблюдений 50 > n >15 – согласно ГОСТ 8.207-76 по составному критерию;
- при числе наблюдений n < 50 принадлежность их к нормальному закону не проверяют.

Проверку гипотезы о том, что результаты принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10% до 2%.

Если гипотеза о принадлежности результатов наблюдений нормальному закону подтверждается, то следует обнаружить и исключить из ряда наблюдений результаты, содержащие грубые погрешности. Методика исключения приведена в СТ СЭВ 545-77.

Доверительные границы ξ (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле:

где tα(n) – нормированный доверительный интервал (коэффициент Стьюдента), определяемый по заданной доверительной вероятности Р и числу наблюдений n по таблице коэффициентов Стьюдента [1].

Доверительные границы при оценке случайной погрешности результата измерений определяют для доверительной вероятности Р=0.95. в тех случаях, когда измерения нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р=0.95, допускается указывать границы для доверительной вероятности Р=0.99.

В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо Р=0.99 принимать более высокую доверительную вероятность.

Пример обработки результатов наблюдений.

В таблице 3.1 приведены результаты двадцати наблюдений сопротивления Ri резистора, проведенных в нормальных условиях. Считая закон распределения случайных погрешностей нормальным, найти доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р=0.95.

Таблица 3.1

i

Ri,Ом

Ri – R, Ом

(Ri – R)², Îм²

i

Ri,Ом

Ri – R,Ом

(Ri – R)², Îм²

1 | 8997 | 3 | 9 | 11 | 8992 | -2 | 4
2 | 8994 | 0 | 0 | 12 | 8997 | 3 | 9
3 | 8991 | -3 | 9 | 13 | 8993 | -1 | 1
4 | 8993 | -1 | 1 | 14 | 8996 | 2 | 4
5 | 8994 | 0 | 0 | 15 | 8995 | 1 | 1
6 | 8993 | -1 | 1 | 16 | 8993 | -1 | 1
7 | 8994 | 0 | 0 | 17 | 8991 | -3 | 9
8 | 8995 | 1 | 1 | 18 | 8994 | 0 | 0
9 | 8995 | 1 | 1 | 19 | 8996 | 2 | 4
10 | 8993 | -1 | 1 | 20 | 8994 | 0 | 0
|  |  |  | Σ Ri=179880 | 13-13=0 | 56

Решение. 1) По формуле (3.2) вычислим результат измерения сопротивления резистора (см. табл. 3.1): R = 179880/20 =8994 Ом. 2) Проверим правильность вычисления среднего значения сопротивления по формуле (3.3): 13 –13 = 0 Ом. 3) Вычислим оценку СКО результата наблюдения (формула 3.4), используя результаты вычислений в таблице 3.1: S = √56/19 ≈ 1.72 Ом. 4) Согласно выражению (3.5) вычислим оценку СКО результата измерения:

S = 1.72/√20 = 0.38 Ом. 5) По таблице коэффициентов Стьюдента [1] находим значение tα(n) для доверительной вероятности Р=0.95 и числа наблюдений n=20: tα(n) = 2.09. 6) По формуле (3.6) находим границы ξ доверительного интервала случайной составляющей погрешности результата измерения: ξ = 2.09*0.38 ≃0.8 Ом. 7) Результат измерения сопротивления: R = 8994 Ом; Δ = ± 0.8 Ом; Р=0.95; условия измерения нормальные.

1. Оценка неисключенной систематической погрешности результата измерений

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из неисключенных систематических погрешностей: метода; средств измерения; вызванными другими источниками.

В качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, определяемых по классу точности прибора.

При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности результата измерения, неисключенные систематические погрешности каждого типа рассматривают как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.

Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции распределения неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных составляющих систематической погрешности, эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле:

где Θj – граница j-ой составляющей неисключенной систематической погрешности;

к – коэффициент, определяемый доверительной вероятностью. Коэффициент к принимают равным 1.1 при доверительной вероятности Р=0.95.

При доверительной вероятности Р=0.89 коэффициент к принимают равным 1.4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (n>4). Если же n≤4, то коэффициент к определяют по графику зависимости (см. рис. 4.1)

к = φ(m, l)

где m – число суммируемых погрешностей;

Θ1 - граница составляющей погрешности, по числовому значению наиболее отличающимися от других;

Θ2 - граница ближайшей к Θ1 составляющей.

Рис. 4.1 график зависимости к = φ(m, l)

Доверительная вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности должна быть той же, что и при вычислении доверительных границ случайных погрешностей результата измерения.

2. Интервальная оценка погрешности результата измерения

В разделах 3 и 4 рассмотрены способы получения оценок случайной и систематической составляющих погрешностей результата измерения. Для представления результата измерения в интервальной форме необходимо найти границы погрешности результата измерения Δ, в которых с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения. Разумеется, что при определении этих границ должны быть учтены как случайная, так и неисключенная систематическая составляющие погрешности.

Если отношение Θ/S(Ã) < 0.8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата измерения Δ = ξ.. Если отношение Θ/S(Ã) > 8, то пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематическими и принимают границы погрешности результата измерения Δ равным доверительным границам неисключенной систематической погрешности Θ: Δ = Θ. Β остальных случаях, когда 0.8 ≤ Θ/S(Ã) ≤ 8, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых, как указывалось выше, как случайные величины. Если доверительные границы случайных погрешностей были найдены с доверительной вероятностью Р=0.95 при нормальном распределении, то допускается границы погрешности результата измерения (без учета знака) вычислять по формуле:

где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;

SΣ – оценка суммарного СКО результата измерения.

Оценку суммарного СКО результата измерения вычисляют по формуле:

а коэффициент К рассчитывается по эмпирической формуле

где ξ - границы доверительного интервала случайной составляющей погрешности измерения.

Результат измерения при описанном способе оценки погрешности представляют в форме:

А = Ã ± Δ [ε.и.]; Р; условия проведения измерений.

3. Оценка погрешности косвенных измерений

Согласно ГОСТ 16263-70 при косвенном измерении искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям (например, определения тока по известному сопротивлению цепи и падению напряжения на ней; мощности – по току и напряжению и т.п.). Таким образом, результат косвенного измерения Ã является функцией, аргументы ã которой представляют собой результаты прямых измерений: Ã=f(ã1,ã2,…,ãm). (6.1)

В руководящем нормативном документе комитета стандартов РД50-555-85 приведены рекомендации по оценке погрешности косвенных измерений при линейной и нелинейной функциональных зависимостях. Методика оценки погрешности косвенных измерений при нелинейной зависимости является универсальной, т.е. может быть использована и при линейной функциональной связи, поэтому приведем только методику оценки погрешности при нелинейной зависимости.

Предлагаем проводить обработку результатов наблюдений при косвенном измерении по алгоритму:

- исключить известные систематические составляющие погрешности из результатов наблюдений аргументов;
- найти оценки ãi аргументов и СКО случайной S(ãi) и границы неисключенной систематической Θ составляющей погрешности аргумента;
- проверить степень корреляции между аргументами;
- вычислить оценку Ã результата косвенного измерения;
- вычислить оценку СКО случайной составляющей S(Ã) è границ неисключенной систематической составляющей Θ погрешности результата косвенного измерения;
- найти доверительные границы погрешности результата косвенного измерения;
- записать результат измерения.

Первые две позиции алгоритма рассмотрены в разделах 2 – 5.

Проверка корреляции аргументов между собой [9] необходима для выбора методики обработки результатов наблюдений. При некоррелированных и слабо коррелированных аргументах используется предлагаемая методика. При сильно коррелированных аргументах применяется метод приведения [8], который здесь не рассмотрен.

Вычисление оценки результата косвенного измерения производят по формуле (6.1), путем подстановки в нее оценок ãi, аргументов.

Вычисление оценки СКО случайной составляющей погрешности в [8] производить методом линеаризации. Линеаризация осуществляется путем разложения используемой функции в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом членами первого порядка. При этих допущениях получается следующее выражение для оценки СКО

где ∂f/∂аi – первая производная от функции f по аi аргументу, вычисленная в точке ã1, ã2,…, ãi,…, ãm;

m - число аргументов.

При нелинейной зависимости необходимо вычислить остаточный член ряда Тейлора, в случае некоррелированных аргументов, остаточный член вычисляют по формуле

где ∂²f/∂аi² – вторая производная от функции f по аi аргументу, вычисленная в точке ã1, ã2,…, ãi,…, ãm;

Если размер R ≥ 0.8* S(Ã) , то необходимо внести поправку в оценку результата косвенного измерения, вычтя значение остаточного члена R из результата, вычисленного по формуле (6.1).

Методика определения границы неисключенной систематической составляющей погрешности косвенного измерения Θ зависит от числа аргументов m и постулируемого закона распределения этих погрешностей.

Если число аргументов m > 4 и закон распределения равномерный, границу Θ вычисляют по формуле:

где к – коэффициент, значение которого устанавливается согласно разделу 4. Обратите внимание, что в формуле (4.1) Θj соответствует выражению (∂f/∂аi)*Θj.

Если число аргументов m ≤ 4 и закон распределения нормальный, то вычисляют границу Θ по формулам (6.4) и (6.5)

Из вычисленных значений границы выбирают минимальное.

Если закон распределения неисключенных систематических составляющих погрешностей нормальный. То границу Θ вычисляют по формуле:

Все границы в выражениях (6.4 –6.6) должны быть найдены с одинаковой доверительной вероятностью.

При доверительной вероятности Р=0.95 можно пользоваться любым из выражений (6.4 – 6.6).

Доверительные границы случайной составляющей погрешности результата косвенного измерения при нормальном законе распределения погрешности находят по формуле

где tα(ν) – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р и числу степеней свободы ν

Число степеней свободы ν вычисляется по формуле

где bi = ∂f/∂ãi – ÷астная производная функция (6.1) по i-ому аргументу;

ni - число наблюдений i–ого аргумента.

Доверительные границы суммарной погрешности результата косвенного измерения определяют согласно раздела 4.

Если 0.8 < Θ/S(Ã) < 8, то можно найти доверительные границы суммарной погрешности по упрощенной методике, погрешность которой не превышает 12%

где ξ - граница доверительного интервала случайной составляющей погрешности;

Θ - граница доверительного интервала неисключенной систематической составляющей погрешности;

К – коэффициент, определяемый по табл. 6.1.

Таблица 6.1

Θ/S(Ã) | 0.75 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
К(Р-0.95) | 0.77 | 0.74 | 0.71 | 0.73 | 0.76 | 0.78 | 0.79 | 0.8 | 0.81
К(Р=0.99) | 0.85 | 0.82 | 0.8 | 0.81 | 0.82 | 0.83 | 0.83 | 0.84 | 0.85

Пример. Для измерения мощности, выделяемой в резисторе. Измерили ток амперметром, класс точности которого обозначен 1.5. Амперметр показал ток 3.5 А на пределе измерения 5 А. Значение сопротивления резистора, равное 75 Ом, найдено с помощью моста, класс точности которого обозначен 1.0 . Найти результат измерения мощности, если измерения проведены в нормальных условиях.

Решение. Так как мощность находим по функциональной зависимости: Р = I²*r, то измерения являются косвенными, т.е. в выражении (6.1) а1 -> I, а2 -> r, А -> Р.

1) Так как поправки неизвестны. Исключить систематическую погрешность не представляется возможным.

2) Оценки аргументов I и r равны показаниям приборов, поскольку измерения однократные.

3) Оценим погрешность прямых измерений по классам точности применяемых Си, полагая границы неисключенных систематических погрешностей равными пределам допускаемых погрешностей. Определим границу погрешности при измерении тока согласно (2.10), (2.11): Θ1 = Δ Iпред = Iнорм (γ /100) = 5(1.5/100) = 0.0075 А.

Определим границу погрешности при измерении сопротивления согласно (2.15), (2.6): Θ2 = Δ rпред = rнорм (δпред. /100) = 75(1/100) =0.75Ом.

4) В связи с тем, что измерения выполнены разными приборами, полагаем, что корреляционные связи между аргументами отсутствуют.

5) Вычисляем оценку результата измерения мощности по формуле (6.1):

Р = I²*r = 3.5²*75 = 918.75 Âт.

6) Учитывая соображения, изложенные в п.3 решения задачи, можно считать случайную составляющую погрешности результата измерения равной нулю.

7) Границу неисключенной систематической погрешности вычисляют согласно формул (6.4) и(6.5), т.к. m < 4 и, принимая Р=0.99, поскольку предел допускаемо погрешности накрывает СИ с вероятностью близкой к единице.

∂Р/∂I = 2*r*I; ∂P/∂r = I²;

(∂Р/∂I)* Θ1 = 2*r*I *Θ1 = 2*75*3.5*0.075 = 39.375 Вт

(∂Р/∂r)* Θ2 = I²*Θ2 = 3.5²*0.75 = 9.1875 Вт

По формуле (4.2): l =39.375/9.1875 = 4.28.

По графику рис. 4.1 для m = 2 и l =4.3 находим К =1.1.

По выражению (6.4): Θ = 1.1√ 39.375² + 9.1875² ≈ 44.5 Âт.

По формуле(6.5): Θ = 39.375 + 9.1875 ≈ 48.6 Вт.

Граница неисключенной систематической погрешности принимается равной меньшему из вычисленных значений: Θ = 44.5 Вт.

8) Вычислим остаточный член ряда Тейлора по формуле 6.3:

R = 0.5[(∂Р²/∂I²)* Θ1² + (∂Р²/∂r²)* Θ2²] = 0.5*[2*r*Θ1² + 0*Θ2²] =

= 0.5*2*75*0.075 = 0.42 Вт.

Остаточный член получился меньше границы погрешности результата измерения Θ, следовательно, его влиянием на результат измерения можно пренебречь.

9) результат измерения мощности: 919 ± 45 Вт; Р=0.99; условия измерения нормальные.

Литература

1. Метрология, стандартизация и измерения в технике связи: Учебное пособие для вузов / Б. П. Хромой и др.; Под ред. Б. П. Хромого. - М.: Радио и связь, 1986. – 424 с.
2. Ми 13-17-86. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроля их параметров.
3. ГОСТ 8.401-80. Государственная система обеспечения единства измерений. Классы точности средств измерений. Общие требования.
4. ГОСТ 8.207-76. ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.
5. СТ СЭВ 543-77. Числа, правила записи и округления.
6. СТ СЭВ 543-77. Прикладная статистика. Правила оценки анормальности результатов наблюдений.
7. СТ СЭВ. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Пуассона.
8. РД 50-555-85. Методические указания. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.
9. Черевко А. Г., Сметанин В. И., Запасный И. Н. Методы машинной обработки данных эксперимента и применение специализированных микропроцессорных устройств в измерительной технике: учебное пособие для вузов связи, - Новосибирск: НЭИС, 1988. – 60 с.

назад | оглавление | вперёд