Метрология, стандартизация и сертификация

Тема 3. Погрешность измерений. Обработка результатов | назад | оглавление | вперёд |

Классификация погрешностей:
Погрешность (неопределённость) - отклонение результата измерения Ах от истинного значения А. В международной практике рекомендовано применение термина неопределённость, в отечественной нормативной документации и учебной литературе преобладает использование термина погрешность.
D = Ax - A - формула погрешности, где:
A - истинное значение - значение, которое бы идеальным образом отражало в качественном и количественном отношениях измеряемую величину;
Ax – результат измерения. Так как истинное значение величина идеальная и, следовательно, неизвестная, то на практике вместо нее применяют действительное значение A0:
D = Ax - A0
A0 - действительное значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть использовано вместо него.
Классификация погрешностей.

1. по характеру проявления:

2. систематические – составляющие погрешности, остающиеся постоянными или закономерно изменяющимися при повторном измерении одного и того же значения;
3. случайные – составляющие погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторном измерении одного и того же значения;
4. грубые – составляющие погрешности, существенно превышающие ожидаемые, при данных условия измерения;

- по источнику возникновения:

- методические – составляющие погрешности, вызванные несоответствием теоретической модели эксперимента реальному состоянию;
- инструментальная – погрешность применяемых средств измерения;
- субъективная – погрешность, вносимая субъектом, проводящим эксперимент;
- по условиям применения:

- основная – погрешность средства измерения, применяемые в нормальных условиях;
- дополнительная – погрешность, вызванная отклонением условий измерения от нормальных;
- по характеру поведения измеряемой величины в процессе измерения:

- статическая – погрешность средства измерения при измерении неизменной в процессе измерения величины D стат;
- в динамическом режиме D динам.реж. – погрешность средства измерения при измерении меняющейся во времени в процессе измерения величины;
- динамическая D динам. = D динам.реж. + D стат.
- по закономерности зависимости от размера измеряемой величины:

5.1 аддитивные | 5.2 мультипликативные

Ап – показания приборов;
Ак – конечное значение диапазона измерения.

6. по способу выражения:

7. абсолютная D = Ах – А0 [ед. измерения]
8. относительная
9. приведенная

Ан – нормирующее значение (может быть равным конечному значению шкалы, либо – ее геометрической длине либо – диапазону измерения, либо – произвольным).
Относительную погрешность часто выражают в %. Для этого нужно на 100

Точность измерений.

Оценка инструментальной погрешности измерений
Инструментальную погрешность нормируют путем указания пределов допускаемой погрешности, которые указываются в метрологических характеристиках средства измерения.
D пред. – наибольшая по модулю погрешность средства измерения, при которой оно еще может быть допущено к применению. Фактически, это граница погрешности, за которую она не должна выходить. Таким образом, это позволяет определить границы, в которых находится истинное значение измеряемой величины A:

Пределы допускаемых погрешностей средств измерений могут быть указаны в метрологических характеристиках в разной форме:

1. в форме абсолютной погрешности: класс точности
обозначается M, N, O, R… или I, II, III…

1. D пред. = a;
2. D пред. = (a + вАк);
3. D пред. = j (Ак),

где (а) и (в) константы, указываемые в метрологических характеристиках,
j (Ак) - может быть задана формулой, отличной от формулы указанной в пункте 1.2, графиком или таблицей;
2. в форме относительной погрешности:
2.1 класс точности обозначен © , где с число из ряда: (1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 5) × 10n , где n = 1, 0, -1, -2...

2.2 класс точности обозначен c / d – c и d числа из ряда, указанного в пункте 2.1;

где Ак – наибольший по модулю из диапазонов измерения;
Аn – показания прибора
2.3 если класс точности обозначен, как в пункте 1, то d пред задается либо формулой, отличной от формулы указанной в пункте 2.2, либо графиком, либо таблицей;
3. в форме приведенной погрешности:
если класс точности обозначен, - число из ряда, указанного в пункте 1, то

где: Ан – нормирующее значение, которое может быть равно:
а) Ан = Aк, если нулевая отметка находится на краю шкалы;
б) Ан = |Ak1| + |Ak2|, если нулевая отметка находится внутри рабочей части шкалы;
в) Ан = |Ak1| - |Ak2|, если нулевая отметка находится вне пределов шкалы (приборы с условным нулем), где Aк, Ak1 и Ak2 – конечные значения шкалы прибора. При измерении нужно стремится, чтобы показание прибора было как можно ближе к нормирующему значению. Вышеуказанные обозначения применяют для приборов с равномерной шкалой.
3.1 Для приборов с существенно неравномерной шкалой:
Обозначение:

где Ан – нормирующее значение, равное геометрической длине всей шкалы приборов;
S – чувствительность приборов в точке отсчета показания;
Dl - размеры одного деления;
С – цена деления.
Случайная составляющая погрешности измерения (СлСПИ) и ее оценка.
Случайные погрешности исследуют и оценивают с помощью теории вероятности.
СлСПИ – погрешность изменяющаяся случайным образом, которая меняется при повторных измерениях случайным образом.
a1, a2, a3 … ai … an – ряд наблюдений,
n – число наблюдений,
ai – результат наблюдения (РН),
Случайная погрешность результата наблюдений: D i = ai - A

где mj – количество наблюдений, погрешность которых попала в j-ый интервал,
n - частота появления события.
Гистограмма - зависимость частоты появления события от размера события. При предельном переходе гистограмма превращается в дифференциальный закон распределения плотности вероятности (правый график)

Чаще других встречается нормальный закон распределения случайных погешностей:

где s - среднеквадратическое отклонение (СКО).
Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами:
математическое ожидание M и среднеквадратическое отклонение s.
Введем новую переменную:

которая представляет собой нормированную случайную погрешность. Пусть e граница доверительного интервала случайной составляющей погрешности, тогда – нормированный доверительный интервал этой погрешности. После замены переменных получим следующее выражение

которое называют интегралом вероятности. Значение вероятности F (k) приведены в учебниках и математических справочниках
Алгоритм обработки РН при оценке СлСПИ.

- Исключить известные СиСПИ;
- Найти среднее значение (оценку математического ожидания) – результат измерения (РИ)

При n -> ¥ сумма случайных погрешностей стремится к нулю, поэтому - оценка результата измерения.

3. Вычислить оценку СКО РН:
   а)
   б) , если не равно 0, то нужно проверить верность выполнения п. 2;
   в) - оценка среднеквадратичного отклонения;

Распределение Стьюдента:
Нормальный закон пригоден для большого числа наблюдений, а как быть, когда число наблюдений мало? Прибегают к распределению Стьюдента :

где Г – гамма-функция,
n – число наблюдений,
t – нормированная случайная погрешность среднего значения:

A – истинное значение,
- оценка среднеквадратичного отклонения РИ.

Из графиков распределения Стьюдента видно, что при n® ¥ оно совпадает с нормальным.
4. Вычислить оценку СКО РИ:

Формула показывает, что с увеличением количества опытов погрешность РИ падает, и при n® ¥ , случайная погрешность РИ стремиться к 0, а сам РИ, следовательно, к истинному значению, т.е.
5. Проверка гипотезы о принадлежности к нормальному распределению;
а) n < 15 – невозможно определить;
б) 15 ³ n ³ 50 – определение по составному критерию ГОСТ 8.207-76;
в) n > 50 – определение по ГОСТ 11.06-74;
6. Выявление грубых погрешностей осуществляют в соответствии с ГОСТ 11.002-73, если есть анормальный результат наблюдения – его нужно исключить из ряда наблюдений и повторить вычисления с п. 2.;
7. Определить интервальные оценки СлСПИ:
а) задан доверительный интервал СлСПИ, Е – граница доверительного интервала. Вычисляют коэффициент Стьюдента ta

значения P определяется по таблице распределения Стьюдента,
б) задана доверительная вероятность – P. С помощью таблицы распределения Стьюдента по известным P и n находят ta , а затем
доверительный интервал СлСПРИ;
8. Оформить результат измерения в соответствии с МИ 1317-86.
Систематическая составляющая погрешности измерения (СиСПИ) и ее оценка.
Классификация СиСПИ:
а) постоянная;
б) переменная.
Переменные:

- прогрессивные (подчиняются закону арифметической прогрессии);
- периодические (изменяются по периодическому закону);
- по сложному закону;
Принципы исключения СиСПИ:

- профилактические;
- в процессе измерений (путем увеличения опытов);
- в процессе обработки результата наблюдения;
- внесение известных поправок;
- оценка границ не исключенных СиСПИ.
Оценка границ СиСПИ Q осуществляется по ГОСТ 8.207-76:
1. m > 3 (m – количество источников СиСПИ)

где Q i - граница i-ой систематической погрешности,
k – коэффициент, определяемый заданной вероятностью P

P | 0.9 | 0.95 | 0.98 | 0.99
kp | 0.95 | 1.1 | 1.3 | 1.4

2. m £ 3 Е

Если закон равномерный:
1.
2. в противном случае .
Из двух результатов берут меньший.
3. Если закон нормальный, то при любом m

> все Q i должны быть найдены с одинаковой вероятностью при Р=0.95 можно пользоваться любой из формул 1-3
Опроеделение доверительных границ погрешности результата измерений ( ДГПРИ )
Определим ДГПРИ, если известно: Q , , P, E.
Необходимо найти: D - ДГ суммы НРИ.
- если D = E;
- если D = Q ;
- в остальных случаях D = k(E + Q ), где k – безразмерный коэффициент.
Границы Е и О должны быть определены с одинаковой вероятностью.

| 0.75 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
k(P = 0.95) | 0.77 | 0.74 | 0.71 | 0.73 | 0.76 | 0.78 | 0.79 | 0.8 | 0.81
k(P = 0.99) | 0.85 | 0.82 | 0.8 | 0.81 | 0.82 | 0.83 | 0.83 | 0.84 | 0.85

Оценка погрешности косвенных измерений (РД50-555-85)
Пусть существует A = f(a1, a2 … am), где:
А – величина подвергаемая косвенному измерению,
a1, a2 … am – измеренные величины (прямые измерения).

1. Исключим СиСПИ из результатов прямых измерений;
2. Найдем
где - результат I-го измерения,
- оценка СКО случайной составляющей, Q I – границы неисключенной систематической составляющей;
3. Проверить степень корреляции аргумента.
Дальнейшая обработка справедлива только для слабо коррелированных величин.
4. - оценка результата косвенного измерения;
5. Вычислить оценку СКО случайной составляющей погрешности результата косвенного измерения
а)
б) если нелинейная зависимость, то , (2);
в) если R ³ 0.8 × , то нужно ввести поправку: ;
6. Вычислить границу неисключенной СиСПРИ
а) если m > 3 и закон распределения равномерный
, (1);
б) если m £ 3, то рассчитывают по формуле (1) и по формуле , (2)
из двух значений (1) и (2) выбирают меньшее.
Если закон распределения СиСПИ нормальный, то при любом m:

Все Q i должны быть определены с одинаковой вероятностью. При P = 0.95, расчет можно вести по любой формуле из (1-3).
Если известны границы суммарной погрешности результатов прямых измерений D предi, и закон распределения, то для оценки нужно использовать формулу (3), где вместо Q i ставится D предi. ДГ суммы погрешностей РИ – см. выше.
Формы представления результатов эксперимента:

1. Результат эксперимента должен быть представлен с указанием единиц измерения;
2. Обязательно должны быть указаны характеристики погрешностей измерения:

1. указываются границы суммарной погрешности и доверительная вероятность, с которой погрешность находится в этих границах;
2. отдельно указываются характеристики случайной и систематической составляющих погрешности. Причем могут быть указаны либо границы погрешности с указанием вероятности, либо статистические параметры распределения, т.е. оценка СКО и закон распределения (если есть возможность).

3. Погрешность измерения должна выражаться не более чем двумя значащими цифрами.
Можно указать одну значащую цифру, ели погрешность округления не превышает 5 % (погрешность округляют в большую сторону). Если погрешность округления в большую сторону превышает 5%, то можно округлять в меньшую сторону до двух значащих цифр.
4. Критерий округления результата измерения:

последний разряд результата должен быть таким же, как у округленного значения абсолютной погрешности.

- Результат измерения должен включать в себя условия проведения измерения (температура, давление, влажность, число наблюдений, частота, на которой проведены измерения, и т. п.).

назад | оглавление | вперёд